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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

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4.15. Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
m) lim⁡x→+∞exex−e−x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}

Respuesta

Queremos resolver este límite: lim⁡x→+∞exex−e−x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", y bueno... aplicamos L'Hopital? Nada nos impide hacerlo, el tema es que, probá de hacerlo y convencete, vas a entrar en un loop infinito donde vas a seguir derivando y la indeterminación "infinito sobre infinito" no se va a ir. Entonces tenemos que recurrir a otra estrategia... infinito sobre infinito te recuerda a algo? Volvamos a nuestra vieja confiable, ¡sacar factor común! 

Saco factor común exe^x:

lim⁡x→+∞exex−e−x=lim⁡x→+∞exex(1−e−xex)\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x} (1 - \frac{e^{-x}}{e^x})} 

Simplificando y fijandote que e−xex=1e2x\frac{e^{-x}}{e^x} = \frac{1}{e^{2x}}, entonces:

lim⁡x→+∞11−1e2x=1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{1 -\frac{1}{e^{2x}}} = 1  

Por lo tanto, 

lim⁡x→+∞exex−e−x=1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} = 1
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ExaComunidad
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Ivan
29 de mayo 21:35
Hola Flor... en la última parte luego que dice simplificando...... en el deniominador me da e elevado a 1/infinito, es decir e eklevado a la cero, es decir 1, entonces 1-1 da cero, es decir 1/0, algo me salio mal...
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Flor
PROFE
29 de mayo 23:32
@Ivan Hola Ivan! Te referis a este último paso no?

lim⁡x→+∞11−1e2x=1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{1 -\frac{1}{e^{2x}}} = 1  

Fijate que ahí te quedo ee elevado a algo que tiende a +∞+\infty, así que e2xe^{2x} se va a +∞+\infty... Entonces 1e2x\frac{1}{e^{2x}} se va a cero, y por eso te queda 1 dividido 1, así que 1 :)

Era esa parte la que te generaba duda?
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